Jouer maintenantVoici deux énigmes logiques
L'un de vos amis vous propose cette énigme logique. Il vous donne un petit sac contenant des graines à semer dans votre potager.
Vous lui demandez combien de graines sont contenues dans le sac, afin de planifier vos plantations.
Il vous répond de manière étrange :
Si tu les plantes par rangées de 3, il t'en restera 1. Si tu les plantes par rangée de 4, il t'en restera 2. Si tu les plantes par rangée de 5, il t'en restera 3. Et il y a moins de 70 graines dans le sac.Combien de graines le sac contient-il ?
Un sorcier vous offre 9 graines, l'une étant magique.
Toutes les graines ont le même poids, sauf la graine magique qui est un peu plus lourde que les autres.
Comment pouvez-vous trouver la graine porte-bonheur avec seulement 2 pesées réalisées sur une balance à 2 plateaux ?
Énigme n°1 : désignons par X le nombre de graines contenues dans le sac. On sait que X ÷ 3 = a + 1, que X ÷ 4 = b + 2 et que X ÷ 5 = c + 3 ; a, b et c étant des entiers. Ceci peut s'écrire X = 3k + 1, X = 4m + 2 et X = 5n + 3 ; k, m et n étant des entiers • - • Énigme n°2 : ne tentez pas de peser toutes les graines. Commencez par peser 2 groupes de 3 graines.
Solution des énigmes logiques
Supposons que X désigne le nombre de graines contenues dans le sac. On sait que :
(1) X ÷ 3 = a + 1 => le reste de la division entière de X par 3 vaut 1
(2) X ÷ 4 = b + 2 => le reste de la division entière de X par 4 vaut 2
(3) X ÷ 5 = c + 3 => le reste de la division entière de X par 4 vaut 3 (ce qui signifie que X se termine par 3 ou par 8).
On peut transformer ces équations (dites équations de congruences) comme suit :
(1) X = 3k + 1
(2) X = 4m + 2
(3) X = 5n + 3 ; k, m et n désignant des entiers.
Ce qu'on peut aussi écire comme suit :
(1) X = 3k' − 2
(2) X = 4m' - 2
(3) X = 5n' - 2 ; k', m' et n' désignant des entiers.
Si l'on considère le nombre Y = X + 2, on est certain que Y est divisible par 3, 4 et 5.
On cherche donc un nombre divisible par 3, 4 et 5, ce qui revient à trouver le plus petit multiple commun de 3, 4 et 5. Ce PPCM(3, 4, 5) = 60, qui correspond au produit de 3, 4 et 5 puisque ces entiers sont premiers entre eux (ils n'ont aucun facteur commun).
Ainsi, nos équations s'écrivent tout simplement :
X = 60z − 2 ; z désignant un entier.
Comme on sait que le sac ne contient pas plus de 70 graines, commençons par le plus petit entier positif qui vérifie l'égalité. Posons z = 1 => X = 60 - 2 = 58.
On vérifie immédiatement :
• 58 ÷ 3 = 19, reste 1
• 58 ÷ 4 = 14, reste 2
• 58 ÷ 5 = 11, reste 3
Il y a donc 58 graines dans le sac.
Il suffit de disposer 3 graines au hasard dans le premier plateau et 3 autres dans le second plateau.
Hypothèse H1 => Si cette première pesée est équilibrée, c'est que la graine magique se trouve parmi les 3 graines restantes.
Recommençons alors l'opération à partir des 3 graines restantes, en choisissant une graine au hasard que nous installons dans le premier plateau et une autre dans le second plateau. Si cette seconde pesée est équilibrée, la graine magique est la graine restante. Sinon, la graine magique est contenue dans le plateau le plus lourd.
Hypothèse H2 => Si cette première pesée n'est pas équilibrée, on se retrouve dans le cas H1 en considérant les 3 graines contenues dans le plateau le plus lourd.
On voit ainsi que 2 pesées suffisent.